运放开环增益简化表达

运放的开环增益是随频率变化而变化的，我们之前在数据手册中看过。

运放开环增益可以表达为：

模代表幅频特性：

幅角代表相移：

简化开环增益

我们之前学过方框图法解负反馈电路，反馈系数F，衰减系数为M，闭环与开环增益的关系式

当开环增益很大时，分母的1可以省略，即闭环增益与低频处的开环增益无关。

简化：

最终简化

我们在厂商给的数据手册中最经常使用的是GBW、UGBW，根据GBW定义可得

如何求 -ydB带宽？

一个放大电路，M、F已知求-ydB带宽。

根据定义：

单位dB

可得

A_ufm为中频带增益。

将简化的开环增益表达式带入闭环增益中，可得模和相角

所以可得：

即-3dB带宽。

注意：这两个表达式在超过f_Hf后最好不要再使用。因为实际运放曲线在接近UGBW时已经不再是一条直线，不能用简化模型表达。

上面的式子联立可得：

上面这个公式在已知反馈系数情况下，能够求得任意衰减dB下的带宽。

举例：

反向比例器

1.求解系数：
从电路可以看出，

2.阅读芯片手册得到增益带宽积GBW

GBW = 10MHZ

3.根据公式计算

即可以算出-1dB带宽，这个值表示在输入信号频率小于462.6kHz时，可以保证闭环增益在-8.9125 - -10倍。

负反馈放大电路产生自激振荡的条件

运放组成的负反馈放大电路，当开环增益A_uo和反馈网络本身的相移为0°时，整个环路永远是负反馈。
但是当环路整个的附加相移φ_A+φ_F = -180°，原本的负反馈会变成正反馈。

除了相位条件外还需具备幅度条件，整个环路增益必须大于1，才能使得很小的信号越来越大。
即：

理论与实际

上面的分析是电路产生震荡的理论依据，我们经常发现理论与实际不符，理论上不会出现震荡的放大电路，实际做出来之后，它出现了自激振荡。

原因：
实际电路中存在杂散电容。

同一层的两个相邻节点间。比如某根信号线，和周边的覆铜 GND 之间，以及和周边的焊点之间。
不同层上下之间。比如元件层的线，和焊接层的大面积 GND 之间。
器件的两个管脚之间。

如何避免?

选择合适的增益，选择合适的增益电阻

对于任意一个选定的运放，在它能够实现的最小增益基础上，适当提高闭环增益，可以有效提高系统稳定性。

增益电阻尽量选择小的，降低反向输入端C_IN-的作用。

设计PCB时，尽量减小杂散电容，特别是C_IN-。

铺铜这个操作，本质目的是增大地线面积，进而减小地线电阻和电感。但是铺铜也会带来两个问题：第一，它与同层信号线之间形成了很长很长的近距离间隙，即大电容。第二，与其他层信号线形成了层间电容，这些杂散电容，都会引起系统不稳定。

所以我们在实际设计运放电路的时候，在运放负输入引脚、输出脚及其下方都不要铺铜，还有就是同层的铺铜离这些引脚、连线的间距大点。

尽量不要驱动大电容负载，必须驱动大电容负载的，使用裕度大的运放。或者串联隔离电阻。

频率失真

非线性失真：“输入-输出”关系是曲线，当输入为单一频率正弦波时，输出一定不是正弦波，而是除基波外包含谐波。

线性失真：当输入为多个正弦波叠加形成复合波，放大电路对每个正弦波都不产生非线性失真，但是对每个正弦波的增益或延时不同，造成输出波形变形。（幅度和相位）

频率特性分析方法

频域分析法，最主要采用理论分析。

例：一阶低通滤波器

理论分析计算可得：

幅频特性与相频特性：

其中

仿真得到幅频与相频特性曲线：

滤波器

滤波是指对不同频率输入信号，实施不同的增益和相移，以形成输出。滤波器是执行这种动作的硬件设备或者软件程序。

无源滤波与有源滤波

无源滤波：无需外部供电即可工作，包括电阻、电容、电感和变压器。

优点：

可工作在大电压、电流情况下。
在超高频率时，无源器件有天生优势。
简单滤波情况下可选择
成本便宜

有源滤波：必须有额外电能供应才能工作的器件

优点：

可以引入负反馈、可以引入放大环节，因此可以实现极为复杂的滤波器，且能轻松应对小信号。
可以轻松实现多级滤波器的级联，而无源滤波器各级之间的互相影响是极为复杂的多级级联非常困难。
对超低频率，有源滤波器有天生优势。
电路计算更简单。
带载能力强于无源滤波

有源滤波器

实现方法有3类：

运放组成的有源滤波器
状态变量型集成有源滤波器
开关电容滤波器

功能分类：

低通滤波器
带通滤波器
带阻滤波器
全通滤波器

模拟滤波器传递函数和阶数

系统传递函数就是系统输出函数u_o(t)与u_i(t)的比值的拉氏变换。

上面那个例子也能写成传递函数形式

滤波器更通用表达式：

n为滤波器的阶数

上限截止频率f_H: 与之前晶体管频率特性时学的定义一样。

下限截止频率f_L：同上。

特征频率f₀: 特征频率是使传递函数变得最简单的点。

定义特征频率的相移规则为：阶数每增加1阶，对于低通，特征频率点处的相移顺时针转动45°（滞后45°），对于高通，则逆时针转动45°（超前45°）。

中心频率f_c: 窄带通滤波器中，增益最大值处，或者相移为0度或者 360 度的整数倍时的频点，称为中心频率。陷波器中，增益最小值处，或者相移为 0度或者 360 度的整数倍时的频点，称为中心频率。

一阶滤波器

一阶低通滤波器

直接写出传函：

增益的模：

当频率极低时，增益接近A_m，随着频率逐渐增大到f = f₀，增益变为0.707A_m。随后随着频率增大，增益会以-20dB/10倍频的速率下降。这个斜率是通过计算得到的，这里不细推，需要知道n阶滤波器，衰减斜率按照-20ndB速率下降。

相移：

一阶高通滤波器

同理可以得到：

反向输入的一阶低通

可直接写出增益表达式：

其中

反向输入的一阶高通

幅频与相频表达式：

一阶全通滤波器

这个电路求解有多种思路，可以使用叠加原理、虚短虚断，可得：

幅频：

相角：

$分子分母$

相移为负值，所以是滞后型全通滤波器，上面左图。右图为滞后型，同样可以求得：

$分子分母$

例：设计一个滤波器，要求输入信号幅度100mV，频率1000hz的正弦波，输出为同频正弦波并且相位超前45°，幅度为1V。

分析：需要超前相位，前级可以选择超前相位的全通滤波器，幅度放大10倍后级接一个10倍放大器即可。主要先设计这个全通滤波器。

首先我们已知相移要求45°可得：

$分子分母$
得

选择RC参数：

实际选择电阻选择不能太大也不能太小，选择R = 1KΩ是一个保险值。

选择一个接近的电容值 C = 0.33μF
重新计算电阻值

我们选择R = 1180Ω

对全通滤波器中另外两个电阻值必须相等，且两者并联最好等于R。
所以R_g = R_f = 2.37kΩ
后级放大电路，选择同相10倍放大，电阻比例1:9，选择R = 1kΩ 和 9.09kΩ

运放选择40MHz带宽的OPA1611，至此设计完毕，对电路进行仿真。

输入与输出电压

可以算出相位超前：

与理论计算相吻合。

选电容为何不是选电感

电感与电阻也能组成低通滤波器，下面分析为何不用。

考虑到运放噪声与输出电流，电阻不能太大也不能太小，普遍一个安全标准 1KΩ。

那么决定特征频率的值就是电感量了，由于制造工艺，多数电感在1nH~~100mH之间。据此，f₀ = 159GHz~~1.59MHz
一般运放的工作频率0~100MHz

所以电感构成的滤波器，只能工作在截止频率比较大的场合。

电容由于制造工艺，可以1pF~~1000μF，所以特征频率 0.159Hz~~159MHz，恰好符合运放工作频率。

压控滤波器

这种滤波器的截止频率可以由外部直流电压控制，利用乘法器或者压控增益放大器可以实现此功能。

利用虚短虚断可以求出：

可以看出这个表达式是一阶低通滤波器，上限截止频率为

我们看这个电路与一阶低通滤波器的区别，就是在后级增加了一个乘法器，乘法器输出端电压接反馈环路中。使用外部的DAC设置U_C就可以改变低通滤波器的特征频率，在一些场合下非常有用。

后级也不一定是一个乘法器，我们可以用一个电阻网络或者比例器模拟乘法器。

下面举例：

我们把后级电阻网络使用戴维宁等效或者看做一个压控电压源

其中

带入公式可得

仿真结果可看到结果吻合

还可以把后级换成一个比例放大电路，这里不再分析，需要注意最终的特征频率与放大倍数和使用的运放带宽都有关系，运放随着频率增加放大倍数会出现衰减，因此后级运放的带宽要尽量高于特征频率。